Se nem fehér, se nem fekete: valószínű!

A Medve Matek küldetése a logikus gondolkodás népszerűsítése iskolán kívüli közösségi élményeken keresztül. Cikksorozatukban a szerencsejátékok matematikai hátterét, a valószínűségszámítást segítenek bemutatni egyszerű, érthető formában. A sorozat első részében a valószínűség fogalmát segítik megérteni az olvasóknak.

2020.09.01 Medve Matek

  • Ráérsz holnap este átjönni hozzánk? 

  • Nem merek még biztosat mondani, de valószínűleg igen.  

 

  • Elég lassan megyünk, szerinted elérjük még a csatlakozást? 

  • Nem valószínű.

Ismerősek a fentiek? A valószínűség fogalma a matematikából ered, azonban - nagymértékben leegyszerűsített formában és a számokat elhagyva - a köznapi nyelvben is jelen van, és igen erősen átszőtte azt. Nem kell szerencsejátékos körökben mozogni ahhoz, hogy nap mint nap találkozzunk a kifejezéssel, esetleg mi magunk is használjuk. De mit is fejezünk ki vele? Mit jelent az, hogy valami valószínű? Mi a valószínűség? És miért fontos beszélni róla? Ezeket a kérdéseket járjuk most körbe.

A köznyelvi értelmezésben igen nehéz megmondani, mi a valószínű, csak sejteni, érezni tudjuk: egyáltalán nem egy objektív fogalom. Ha valaki felteszi azt a kérdést, hogy “átjössz-e ma este hozzám?”, akkor itt a “valószínű” a “nem” és az igen között, az “igen”-hez közelebb helyezkedik el, és viszonylag tág értelmezést enged: gyakorlatilag egyénenként változó, hogy ki mekkora elhatározást ért alatta és mennyire lelkes az estét illetően. Ugyanakkor az emberi kommunikációnak számos összetevője van, és az egyebekkel (hanglejtés, gesztikuláció, mimika stb.) megfelelő pontossággal közvetíthetjük álláspontunkat beszélgetőpartnerünknek, azaz a nyelvi értelmezésben talán nem is szorulunk az előbbinél pontosabb definícióra. Ha objektíven, számokkal kifejezhetően akarjuk megadni a jelentést, akkor a matematikához kell fordulnunk.

A valószínűségszámítást olyan dolgok leírására találták ki, amelyeket nem lehet pontosan (vagy akár egyáltalán) előrejelezni. Nem azzal próbálkozik, hogy pontosan megméri a rulett golyó sebességét, és ebből megjósolja, hogy melyik számnál fog landolni. Ehelyett olyan kérdésekre keresi a választ, hogy sok egymás utáni játékból hány győzelemre számíthatunk, vagy hogy mennyi ideig kell várni az első győzelemre. 

Ezen a ponton, mielőtt tovább haladnánk, szeretnék a Kedves Olvasónak bemutatni valakit. Íme, a Dobókocka.

Kép forrása: Pixabay

Bizonyosan találkoztak már vele, de a régi ismeretségeket alkalmanként illik feleleveníteni, és a bemutatás apropóján most én is szeretném a Dobókocka néhány fontos tulajdonságára felhívni a figyelmet. Szabályos, egyféle anyagból kialakított, minden pontján azonos sűrűségű (azaz homogén) kocka, melynek oldalai 1-6-ig számozottak, a szemközti oldalakon lévő számok összege 7. Semelyik csúcsán, semelyik élén nem áll meg, amikor dobunk vele, kivétel nélkül mindig valamelyik oldalára esik, és a vele szemközti oldalon (azaz ebben a helyzetben a tetején) lévő számot hívjuk a dobás eredményének. És legfőképpen: senki sem tudja a dobásnál tudatosan befolyásolni az eredményt.

Térjünk vissza a matematikához! A matematikában azt mondjuk, hogy egy bizonyos esemény bekövetkezésének valamekkora értékű valószínűsége van. Először is, mi lehet esemény? Az egyszerűség kedvéért mondjuk azt, hogy bármi, amit annak jelölünk ki. Íme, néhány példa eseményekre a Dobókocka vonatkozásában: 

  • A dobásunk eredménye 5. Ez egy nagyon egyszerű esemény, mely akkor (és csak akkor) következik be, ha 5-öt dobtunk.

  • A dobásunk eredménye páros szám. Ez az esemény megengedőbb az előző példánál, mert többféle dobással is bekövetkezhet: akár 2-t, akár 4-et, akár 6-ot dobunk, elmondhatjuk, hogy ez az esemény bekövetkezett. 

  • A dobásunk eredménye nem 2. Ez az esemény akkor következik be, ha a dobás eredménye akár 1, akár 3, akár 4, akár 5, akár 6. 

  • Két Dobókockával egyszerre dobva, a dobások eredményeinek összege 9. A Dobókockák darabszáma nincs kőbe vésve, kedvünk szerinti mennyiséggel dobhatunk (és a példa azt is szemléltetni kívánja, hogy egy-egy eseményt is úgy fogalmazzuk meg, ahogy kedvünk tartja). Ez az esemény akkor következik be, ha a két dobásunk 4-es és 5-ös vagy 3-as és 6-os.

Egy-egy eseményre a valószínűség értéke 0 és 1 között, avagy ha úgy tetszik, 0% és 100% között mozoghat. 

  • Van olyan esemény, ami nem tud bekövetkezni. Ilyen esemény például, hogy a Dobókockával a dobásunk eredménye 8 (hiszen egyik oldalán sincsen 8-as). Az ilyen esemény valószínűsége 0.

  • Van olyan esemény is, ami kivétel nélkül mindig bekövetkezik. Egy ilyen esemény például az, hogy a Dobókockával egész számot dobunk: ez a dobás eredményétől függetlenül mindig igaz lesz, hiszen csak egész számok vannak a Dobókockán. Az ilyen esemény valószínűsége 1. 

  • Az igazán érdekes események persze azok, amelyek egy-egy kísérlet (azaz kockadobás) során vagy bekövetkeznek, vagy nem. Ilyenkor a valószínűség értéke 0 és 1 közé esik, és azt fejezi ki, hogy az esemény milyen gyakran következik be. Például, ha sokszor egymás után dobunk a Dobókockával, milyen gyakran lesz 2 a dobás eredménye. 

A cikksorozat következő részében ellátogatunk a bomátakerti piacra, megismerkedünk egy igazán sokoldalú dobókockával, és közben azt is megtanuljuk, hogyan számíthatjuk ki események valószínűségét.

Címlapkép: istock / Talaj