Ki dob nagyobbat hatosnál?

A Medve Matek küldetése a logikus gondolkodás népszerűsítése iskolán kívüli közösségi élményeken keresztül. Cikksorozatukban a szerencsejátékok matematikai hátterét, a valószínűségszámítást segítenek bemutatni egyszerű, érthető formában. A sorozat második részében a valószínűség fogalmát segítik megérteni az olvasóknak.

2020.09.29 Medve Matek

A Dobókockán túl is van élet: léteznek olyan dobótestek, melyeknek nem 6, hanem 4, 8, 12, esetleg 20 oldaluk van, ezeket már nem is helyes kockának hívni. (Gyors kérdés: Kétoldalú dobótest, gyakran használjuk, mi az? A választ a cikk alján megtalálják.)

Ezeket általában bizonyos társasjátékokhoz használják. Tulajdonságaikban igen hasonlóak a Dobókockához, mindössze oldalaik számában van eltérés: ,,szimmetrikus’’, homogén testek, minden lapjuk ugyanolyan. Nem állnak meg sem a csúcsukon, sem az élükön, mindig valamelyik lapjukra esnek, és az azzal szemközti lapon lévő szám a dobás eredménye. (Szemfüleseknek: a tetraéder alakú 4 oldalú dobótestnél nincs is szemközti lap! Itt a lappal szemközti csúcson álló számot dobjuk.)

Miért is fontos az, hogy szimmetrikusak és homogének legyenek az efféle dobótestek? Mert így, ha jól eldobjuk őket, bármelyik szám egyforma eséllyel adódik a dobás eredményéül, mondhatni, a dobótest igazságos, egyik szám felé sem ,,húz’’.

Tegyük fel, hogy Bomátakert (ami egy fiktív település) piacán sétálgatunk, és az egyik árusnál a fizetés előtt dobhatunk egy 20 oldalú dobótesttel (dobó-ikozaéderrel, hogy pontosak legyünk, a képen középen), melynek oldalai 1-től 20-ig számozottak. Amennyiben egyjegyű számot dobunk, 5 batka kedvezményt ad a vásárlás árából, de ha kétjegyű számot, akkor 5 batka borravalóval terheli a számlánkat. Mik az esélyeink?

A legtöbben feltehetőleg azt mondanák, nem kívánnak élni a lehetőséggel, csak mondják meg, mennyit kell fizetni, hadd mehessenek dolgukra. Már csak az ésszerűség okán is sejthetjük, hogy az árus nem adna olyan lehetőséget, ahol a vevő esélyei jobbak, mint az övé, de ennek könnyen utána is számolhatunk. Az 1-20-ig számozott dobótesttel húszféle szám lehet a dobásunk eredménye. Mi a kedvezményre hajtunk, számunkra akkor kedvező a dobás, ha egyjegyű számot dobtunk: 1-et, 2-t, 3-at stb., 9-ig, ami 9 db számot jelent. Az árus akkor jár jól, ha 10-20 közötti a dobott szám, ami összesen 11 db szám. Mivel a dobótest szabályos, bármely számot egyforma eséllyel dobjuk. Ha az árusnak kedvező számokból több van, mint a nekünk kedvezőből, az azt jelenti, hogy nagyobb valószínűséggel ő jár jól, és nem mi.

Már látjuk, hogy valószínűbb az, hogy az árus jár jobban, de mik a pontos számok emögött? Ehhez az okfejtéshez idézzünk fel egy gondolatot az előző cikkünkből! 

“A valószínűség értéke azt fejezi ki, hogy az esemény milyen gyakran következik be: például, ha sokszor egymás után dobunk a Dobókockával, milyen gyakran lesz 2 a dobás eredménye.”

Itt tehát arra vagyunk kíváncsiak, hogy ha sokszor egymás után dobunk ezzel a 20 oldalú dobótesttel, milyen gyakran fog előfordulni az, hogy egyjegyű számot dobtunk. Ezt a kérdést most az egyszerűség kedvéért úgy fogjuk számolni, hogy önkényesen kijelölünk egy bizonyos mennyiséget, 100-at, és azt vizsgáljuk, hogy a 100-ból mennyi dobás eredménye lett egyjegyű.

Az előbbiekben megállapítottuk, hogy a dobótesttel húszféle számot dobhatunk, és ebből kilenc az, ami nekünk kedvező. Vagyis ha nagyon-nagyon sokszor egymás után dobunk, akkor kijelenthetjük, hogy átlagosan 20 dobásonként 9 lesz nekünk kedvező. Ha átlagosan 20 dobásból 9 kedvező, akkor 40 dobásból 18, 60-ból 27, 80-ból 36, végül 100-ból 45. Azaz átlagosan a dobások 45%-a végződik számunkra kedvező eredménnyel. (Az árus az esetek 55%-ában jár jól.)

Ezzel eljutottunk a valószínűség százalékban való kifejezéséhez, mindennapjaink során legtöbbször ilyen formában találkozunk vele. 1% itt azt jelenti, százból egyszer. A bomátakerti árus esetében ez könnyen érthető: ha minden nap vásárolunk nála és dobunk is, akkor arra számíthatunk, hogy 100 nap alatt 45-ször nyerünk, 55-ször veszítünk. Vagyis várhatóan 100 nap alatt 50 batkával gazdagítjuk meg. Ez a gondolatmenet - vagyis hogy hosszú távon hogyan hat a vagyonunkra egy véletlen játékban való részvétel - többször vissza fog még térni későbbi cikkekben.

Sokszor azért nehezebb a valószínűség értelmezése. Mi a helyzet akkor, ha az időjárásjelentés szerint holnap 35% valószínűséggel várható csapadék? Holnapból (jobb esetben) csak egy van, és az is világos, hogy a ma közölt 35% nem lesz érvényes a következő 100 holnapra. Ebben az esetben a 35% jelentése inkább az, hogy 100 olyan napból, amikor a műszereink olyan értékeket mutatnak, mint ma, átlagosan 35-ször szokott másnap esni az eső.

A százalékos kifejezés egyébként főleg hagyomány kérdése, valójában a 9/20 törtet fejeztük ki százalékkal:

 

9 / 20 = 0,45 = 45 / 100 = 45%

 

Egyszerűen a nekünk kedvező kimenetelek számát (9 féle dobás) elosztottuk az összes lehetséges kimenetel számával (20 féle dobás). Ez bármilyen esemény valószínűségére működik: össze kell számolnunk, hányféleképpen következhet be az esemény (ez a kedvező esetek száma), és hányféle kimenetele lehet a kísérletnek összesen (ez az összes eset száma). A kettő hányadosa adja az esemény valószínűségét. 

Bomátakert ugyan fiktív település, de hasonló akcióval 1-2-szer mi is találkoztunk már, és ha fejben gyorsan végig tudjuk gondolni, mik az esélyeink, érdemes-e belemenni a játékba, alkalmanként spórolhatunk magunknak némi időt - az 5 batka borravalóról nem is beszélve.

Az persze fontos volt az okoskodásunkban, hogy a piaci árusnál mind a 20 kimenetel ugyanannyira valószínű. Lottózás kapcsán hallhatja az ember sokszor azt a bölcsességet, hogy ,,vagy ötösöm lesz, vagy nem, tehát 50%-kal nyerek’’. Ez azért hibás, mert a lottóhúzásnak valójában 43949268 egyenlő valószínűségű kimenetele van. Az, hogy ,,5-ösünk lesz’’, azaz pont a mi szelvényünkön lévő 5 számot húzzák ki, már egy esemény, ami pontosan 1 kimenetel esetén valósul meg. A ,,nem lesz ötösünk’’ esemény pedig 43949267 kimenetel esetén valósul meg. Az Olvasóra bízzuk, hogy egy zsebszámológép segítségével megbizonyosodjon arról, hogy ez mennyire nem fifti-fifti. 

Valójában a lottón ötöst elérni olyan, mintha egy 43949268 oldalú dobótesttel próbálnánk 1-est dobni. A hagyományos szerencsejátékok (például lottó, rulett, félkarú rabló) igazából mind bonyolultan megfogalmazott, sok oldalú dobótestek. 

A cikksorozat következő részében részletesen is átgondoljuk, hogy a lottó és a rulett hogyan is működik, miből él a kaszinó, és milyen következménye van ennek a mi pénztárcánkra nézve.

(A kétoldalú dobótest: pénzérme.)

Címlapfotó: Pexels