Fekete tizenhármas! Milyenek a nyerési esélyeink ruletten?

A Medve Matek küldetése a logikus gondolkodás népszerűsítése iskolán kívüli közösségi élményeken keresztül. Cikksorozatukban a szerencsejátékok matematikai hátterét, a valószínűségszámítást segítenek bemutatni egyszerű, érthető formában. A sorozat harmadik részében egy konkrét játék, a rulett példáján keresztül segítik megérteni a valószínűség fogalmát.

2020.10.21 Medve Matek

A szerencsejáték rengeteg embert mozgat meg, és változatos formákban az élet bármely területén szembejöhet, akár egy fogadás formájában. A fogadás valószínűleg egyidős az emberiséggel.

“Fogadjunk, hogy nem néznek bele!” (Odüsszeusz, i.e. 1200 körül)

“Fogadjunk, hogy az almát fogom eltalálni!” (Tell Vilmos, 1307)

“Fogadjunk, hogy eljutok Indiába!” (Kolumbusz Kristóf, 1492)

Tréfát félretéve és a jelenbe visszakanyarodva, rendszerint két tényezőben rejlik a szerencsejáték vonzereje: a játék izgalmában és a jutalom mértékében. Egy igazán nagy jutalom fényében (pl. ötöslottó főnyereménye) akár képesek vagyunk heteken keresztül szemet hunyni a vesztes játékok fölött, mert “ha majd egyszer megnyerem, visszajön minden belefektetett pénz!” Nem mindegy viszont, hogy mikor jön vissza az a befektetés; ugyanis elképzelhető az is, hogy előbb fog rámenni a fehérneműnk is a játékra. 

Hogyan határozhatjuk meg, hogy egy-egy játék várhatóan mekkora jutalommal kecsegtet számunkra? Ha ezt tudjuk, akkor időben hosszabb távra is tervezhetünk, és eldönthetjük, megéri-e ezt a játékot folytatnunk, és ha igen, meddig, milyen stratégiával. 

Ezt a kérdést persze csak akkor van esélyünk megválaszolni, ha pontosan ismerjük a játék működését azaz tudjuk, hogy milyen kimenetelek mekkora valószínűséggel következhetnek be, és tisztában vagyunk azzal is, hogy ezekhez a kimenetelekhez milyen jutalom (vagy pénzveszteség) társul.

Amennyiben ezek a feltételek adottak, az egy játékra jutó átlagos nyereséget egyszerű kiszámítani, ezt a gyakorta alkalmazott műveletet a matematikában várhatóérték-számításnak nevezik. Emlékezzünk vissza: egy ilyen helyzetértékelést már elvégeztünk az előző cikkünkben, a bomátakerti piacon tett látogatásunk során.

Ebben a cikkben egy klasszikus példát, a rulettet járjuk körbe alaposan, annak is a francia változatát. A legegyszerűbb fogadás a rulettben az, amikor felteszünk valamekkora összeget arra, hogy a golyó egy adott számon, pl. a 13-ason áll meg. Ha eltaláljuk a számot, akkor a tét 36-szorosát kapjuk vissza, míg ha nem így alakul, bukjuk a feltett pénzünket. Mivel a 36-os a legnagyobb szám a tárcsán, ezért ez elsőre egy igazságos játéknak tűnik. A trükk ott van elrejtve, hogy 0-át is kaphatunk eredményül, valójában 37 szám van összesen. Így annak a valószínűsége, hogy a 13-as fog nyerni, (1/37). Ha 1 dollár a tét, akkor 36 dollárt kapunk vissza, azaz a kiindulási állapothoz képest 35 dollárral leszünk gazdagabbak. Vagyis a játék (1/37)35=35/37 dollár nyereséggel kecsegtet. Viszont a fennmaradó (36/37) valószínűséggel veszíteni fogunk, ebben az esetben 1 dollárral leszünk szegényebbek, így (36/37)1=36/37 dollár veszteségre is számíthatunk. Tehát játékonként (1/37) dollárral többet veszítünk, mint nyerünk.

Persze úgy is fogalmazhatunk, hogy vesztes játék esetén a nyereményünk (-1) dollár. A várható nyereményünket valójában így számoltuk ki:

1 / 37 * (+35 $) + 36 / 37 * (-1 $) = - 1 / 37 $

A várható nyeremény érték meghatározásához tehát összegeznünk kellett a valószínűséggel szorzott jutalmakat. Mennyire volt fontos ebben a gondolatmenetben az, hogy pont a 13-as számra fogadtunk? Semennyire, hiszen bármely más szám esetén is ugyanakkora valószínűséggel nyerünk, és a kifizetéseink is ugyanazok.

Fontos kiemelni, hogy az egy játékra vetített várható érték egy elméleti dolog, hiszen egy játék alkalmával vagy 35 dollárt nyerünk, vagy 1-et vesztünk, természetesen nincs olyan kimenetel, hogy (1/37) dollárt fizetünk a banknak. Ezt a számot inkább arra tudjuk használni, hogy hosszabb távra tervezzünk vele: ha egy este során 111-szer teszünk fel 1 dollárt a rulettasztalnál, akkor ezzel várhatóan 111/37=3 dollárral gazdagítjuk a kaszinót (és csökkentjük a saját vagyonunkat). És itt nincs megállás, ez a várható érték folyamatosan halmozódik, ahogy telnek a kaszinóban az esték: ha ezt egy héten át minden este megtesszük, akkor a hét végére várhatóan már összesen 21 dollárral vesztettünk többet a kaszinóban, mint amennyit nyertünk.

Ha nagyobb téttel játszunk, akkor a várható nyeremény is változik. Az (1/37) dollár veszteséggel minden egyes játékban, minden feltett dollárunk után számolnunk kell.  

Na jó, de a rulettben lehet fogadni a nyertes szám színére is! Hátha az jobb stratégiának bizonyul. Ebben az esetben ha eltaláljuk, hogy a nyertes szám piros vagy fekete (mindkettőből 18 van), a bank megduplázza a tétünket. Azonban a 0 most is ellenünk dolgozik: se nem piros, se nem fekete, hanem zöld. Akár pirosra, akár feketére fogadunk, a siker esélye (18/37), és ekkor 1 dollárral gazdagodunk. A bukás valószínűsége (19/37), ekkor (-1) dollár üti a markunkat. Azaz a várható nyereményünk:

18 / 37 * ( + 1 $ ) + 19 / 37 * ( - 1 $ ) = - 1 / 37 $

Vagyis színre fogadni hosszútávon pontosan annyira veszteséges, mint konkrét számra. Igazából a rulettben bármire fogadunk (egy szám, két szám, négy szám, tucat, oszlop, páros-páratlan, alacsony-magas), a kifizetés úgy van kialakítva, hogy várhatóan a tétünk (1/37)-ed részét elveszítjük. A kaszinó ebből az (1/37) dollárból él, meg természetesen a vendégek étel- és ital fogyasztásából. 

Ez az érték egyébként csak a francia rulettre érvényes, az amerikai rulettben van duplanulla is, ami tovább rontja az esélyeinket. Mivel ott 38 szám van a tárcsán, de a kifizetések ugyanúgy működnek, az előbbi érvelés arra vezet, hogy (2/38)=(1/19) dollárt veszítünk játékonként. Ez majdnem kétszer annyi, mint a francia rulettnél. Ez elsőre meglepőnek tűnik, hiszen egy játékos szemszögéből 37 helyett 38 szám a győzelem esélyét alig változtatja. 

Ha viszont egy pillanatra a kaszinó szemszögéből gondolkodunk, máris látni fogjuk a különbséget. Képzeljünk el egy pillanatra egy olyan rulettasztalt, ahol sok játékos játszik, de csak piros-feketét. Ha  a forgatás eredménye 1 és 36 közé esik, akkor a vesztesek feltett pénzéből kifizetjük a nyertesek nyereményét. Ennek persze csak statisztikailag van értelme, de hosszú távon működni fog, mivel mindkét szín ugyanakkora valószínűséggel nyer. Amikor viszont 0-át forgatunk, megütjük (mi, a kaszinó) a főnyereményt: az összes tét a mienk, senkinek sem kell fizetni. Így már érthető, hogy a duplanulla miért ilyen jelentős, a kaszinó szempontjából (majdnem) megduplázza a pénzeső gyakoriságát. A valóságban ugyan a játékosok fogadhatnak a 0-ra, és a 00-ra is, de a nyereményszorzók miatt az ugyanolyan veszteséges, mint a piros-fekete. 

Mindezek mellett fontos észben tartani, hogy a várható érték egy statisztikai átlag. Eltérések előfordulhatnak: megeshet, hogy olyan szerencsénk van, hogy 10 játékon át eltaláljuk a színt, mint ahogy az is, hogy egy este lényegesen többet veszítünk a költségvetésünkbe előre betervezett 3 dollárnál.

A cikksorozat további részeiben szó lesz 1 valószínűségű, de mégsem biztos dolgokról, illetve bemutatunk egy stratégiát, amivel mégis nyerni lehet a ruletten.

Címlapkép: Pexels